Bayesova teorema je matematička formula za određivanje uslovne vjerovatnoće. U finansijama, Bayesova teorema se može koristiti za procjenu rizika pozajmljivanja novca potencijalnim zajmoprimcima. Primene Bayesove teoreme su široko rasprostranjene i nisu ograničene na finansijsku oblast. Pogledajmo onda šta je Bayesova teorema, kako se ona izračunava i kako je primijeniti kroz nekoliko primjera.
Šta je Bayesova teorema
Bayesova teorema, nazvana po britanskom matematičaru iz 18. vijeka Thomasu Bayesu, je matematička formula za određivanje uslovne vjerovatnoće. Uslovna vjerovatnoća je vjerovatnoća da će se ishod dogoditi, s obzirom na to da li se prethodni ishod dogodio pod sličnim okolnostima. Bayesova teorema omogućava reviziju postojećih predviđanja ili teorija (ažuriranje vjerovatnoća) na osnovu novih ili dodatnih dokaza. U finansijama, Bayesova teorema se može koristiti za procjenu rizika pozajmljivanja novca potencijalnim zajmoprimcima. Teorema se također naziva Bayesovo pravilo ili Bayesov zakon i temelj je polja Bayesove statistike.
Čemu služi Bayesova teorema?
Primene Bayesove teoreme su široko rasprostranjene i nisu ograničene na finansijsku oblast. Na primjer, Bayesova teorema se može koristiti za određivanje tačnosti rezultata medicinskog testa uzimajući u obzir vjerovatnoću da određena osoba ima bolest i ukupnu tačnost testa. Bayesova teorema se zasniva na inkorporaciji prethodnih distribucija vjerovatnoće za generiranje posteriornih vjerovatnoća. U Bayesovom statističkom zaključivanju, prethodna vjerovatnoća je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi prije nego što se prikupe novi podaci. Drugim riječima, predstavlja najbolju racionalnu procjenu vjerovatnoće određenog ishoda na osnovu trenutnog znanja prije izvođenja eksperimenta.
Koja je formula za Bayesovu teoremu?
Posteriorna vjerovatnoća je revidirana vjerovatnoća da će se događaj dogoditi nakon uzimanja u obzir novih informacija. Posteriorna vjerovatnoća se izračunava ažuriranjem prethodne vjerovatnoće korištenjem Bayesove teoreme. U statističkom smislu, posteriorna vjerovatnoća je vjerovatnoća da će se događaj A dogoditi ako se dogodio događaj B. Dakle, Bayesova teorema daje vjerovatnoću da će se događaj dogoditi na osnovu novih informacija koje su ili mogu biti povezane s tim događajem . Formula se također može koristiti za određivanje kako hipotetičke nove informacije mogu utjecati na vjerovatnoću da će se neki događaj dogoditi, pod pretpostavkom da se nove informacije ispostavi da su istinite.
Objašnjenje formule Bayesove teoreme.
Primjeri upotrebe Bayesove teoreme
U nastavku ću predstaviti dva primjera Bayesove teoreme u kojoj prvi primjer primjenjuje Bayesovu teoremu na alkotestove. Drugi primjer pokazuje kako se formula može izvesti u primjeru ulaganja u dionice koristeći Nvidia (NVDA).
Numerički primjer Bayesove teoreme
Kao numerički primjer, zamislimo da postoji alkotest koji je 98% tačan, što znači da 98% vremena pokazuje istinski pozitivan rezultat za nekoga ko je pio alkohol, a 98% vremena pokazuje pravi negativan rezultat za konzumente bez alkohola. Zatim, pretpostavimo da 0,5% ljudi konzumira alkohol. Ako je slučajno odabrana osoba pozitivna na alkohol, može se napraviti sljedeća kalkulacija kako bi se utvrdila vjerovatnoća da je ta osoba zapravo konzument alkohola.
(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 – 0,98) x (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76, XNUMX%.
Bayesova teorema pokazuje da čak i ako je osoba bila pozitivna u ovom scenariju, postoji otprilike 80% šanse da neće konzumirati alkohol.
Izvesti formulu Bayesove teoreme
Bayesova teorema jednostavno slijedi iz aksioma uslovne vjerovatnoće, što je vjerovatnoća događaja s obzirom da se dogodio drugi događaj. Na primjer, jednostavno pitanje vjerovatnoće bi moglo biti: "Koja je vjerovatnoća da će cijena Nvidijinih dionica pasti?" Uslovna vjerovatnoća vodi ovo pitanje još jedan korak dalje: „Koja je vjerovatnoća da će cijena dionica NVDA pasti s obzirom na to da je Nasdaq indeks (NDAQ) ranije pao?“ Uslovna vjerovatnoća A s obzirom da se dogodilo B može se izraziti kao: Ako je A: “Cijena NVDA pada”, onda je P(NVDA) vjerovatnoća da će NVDA pasti; i B je: “NDAQ je već opao”, a P(NDAQ) je vjerovatnoća da je NDAQ opao; tada se izraz uslovne vjerovatnoće čita kao "vjerovatnoća da će NVDA pasti s obzirom na pad NDAQ jednaka je vjerovatnoći da će cijena NVDA pasti i da će NDAQ pasti iznad vjerovatnoće pada NDAQ indeksa."
P(NVDA|NDAQ) = P(NVDA i NDAQ) / P(NDAQ) P(NVDA i NDAQ) je vjerovatnoća da se pojave i A i B. Takođe je isto što i vjerovatnoća da se A dogodi pomnožena vjerovatnoćom da se dogodi B s obzirom da se A dogodi, izražena kao P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA). Činjenica da su ova dva izraza jednaka vodi do Bayesove teoreme, koja se piše kao
da, P(NVDA i NDAQ) = P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA) = P(NDAQ) x P(NVDA|NDAQ)
onda, P(NVDA|NDAQ) = [P(NVDA) x P(NDAQ|NVDA)] / P(NDAQ). Gdje su P(NVDA) i P(NDAQ) vjerovatnoće da će Nvidia i Nasdaq pasti, bez uzimanja u obzir jedni druge. Formula objašnjava odnos između vjerovatnoće hipoteze prije nego što se vidi dokaz da je P(NVDA) i vjerovatnoće hipoteze nakon dobijanja dokaza P(NVDA|NDAQ), s obzirom na hipotezu za Nvidiju s obzirom na dokaze u Nasdaq-u.